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圆锥曲线解题技巧归纳

时间：2023-01-04 09:09:28 挺教育我要投稿

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有关圆锥曲线解题技巧归纳

　　圆锥曲线作为高中数学解析几何的重要知识点，其中蕴含着重要丰富的数学思想方法，解析几何基本思想是使用几何方法解决问题，也就是数形结合思想，所有的数学试题都不能离开形只谈抽象数或者是研究图。要求学生具备较扎实基础知识及较强综合能力。下面是小编给大家带来的有关圆锥曲线解题技巧归纳，希望能帮到大家！

　　圆锥曲线解题技巧归纳

　　直线与圆锥曲线常见解题思想方法有两种：几何法与代数法，下面将具体分析下这两种解题思想方法.

　　(一)几何法

　　几何法解决数学问题主要运用了数形结合思想，结合圆锥曲线定义、图形、性质等题目中已知条件转化成平面几何图形，并使用平面几何有关基本知识例如两点间线段最短、点到直线垂线段最短等来巧妙地解题.

　　(二)代数法

　　代数法主要是依据已知条件来构建目标函数，将其转化成函数最值问题，再结合使用配方法、不等式法、函数单调性法及参数法等等来求最值.

　　直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧实例分析

　　(一)题型一：弦的垂直平分线问题

　　解题技巧及规律：题干中给出直线与曲线M过点S(-1，0)相交于A，B两点，分析直线存在斜率并且不等于0，然后设直线方程，列出方程组，消元，对一元二次方程进行分析，分析判别式，并使用韦达定理，得出弦中点坐标，再结合垂直及中点，列出垂直平分线方程，求出N点坐标，最后结合正三角形性质：中线长是边长的32倍，使用弦长公式求出弦长.

　　(二)题型二：动弦过定点问题

　　解题技巧及规律：第一问是使用待定系数法求轨迹方程;第二问中，已知点A1、A2的坐标，因此可以设直线PA1、PA2方程，直线PA1与椭圆交点是A1(-2，0)和M，结合韦达定理，能求出点M坐标，同理求出点N坐标.动点P在直线L：x=t(t>2)上，这样就能知道点P横坐标，根据直线PA1，PA2方程求出点P纵坐标，得出两条直线斜率关系，通过计算出M，N点坐标，求出直线MN方程，代入交点坐标，如果解出是t>2，就可以了，否则不存在。

　　圆锥曲线解题技巧归纳

　　一、考查目标：

　　1、熟练掌握三大曲线的定义和性质;

　　2、能够处理圆锥曲线的相关轨迹问题;

　　3、能够处理圆锥曲线的相关定值、最值问题。

　　二、相关知识考查：

　　1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离等，也要注意斜率的存在与否)

　　2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等)

　　3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况等等)

　　4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算

　　5、了解线性规划的意义及简单应用

　　6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

　　7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等)

　　8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题。

　　三、常规七大题型：

　　(1)中点弦问题

　　具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为　　，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。

　　如：

　　(1)　　与直线相交于A、B，设弦AB中点为　　，则有　　。

　　(2)　　与直线　　相交于A、B，设弦AB中点为　　,则有

　　(3)　　与直线　　相交于A、B设弦AB中点为　　,则有　　,即　　.

　　(2)焦点三角形问题

　　椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点　　构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

　　(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

　　直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

　　(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题

　　圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。

　　<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

　　<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。

　　<1>可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围;对于<2>首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

　　最值问题的处理思路：

　　1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围;

　　2、数形结合，用化曲为直的转化思想;

　　3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值;

　　4、借助均值不等式求最值。

　　(5)求曲线的方程问题

　　1.曲线的形状已知——这类问题一般可用待定系数法解决。

　　2.曲线的形状未知——求轨迹方程

　　(6)存在两点关于直线对称问题

　　在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)

　　(7)两线段垂直问题

　　圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用　　来处理或用向量的坐标运算来处理。

　　四、解题的技巧方面：

　　在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：

　　(1)充分利用几何图形

　　解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

　　(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

　　我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

　　(3) 充分利用曲线系方程

　　利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

　　(4)充分利用椭圆的参数方程

　　椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。

　　(5)线段长的几种简便计算方法

　　① 充分利用现成结果，减少运算过程

　　一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程　　代入圆锥曲线方程中，得到型如　　的方程，方程的两根设为　　，判别式为△，则　　，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

　　② 结合图形的特殊位置关系，减少运算

　　在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

　　③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离。

　　高考数学圆锥曲线复习方法

　　1、曲线与方程

　　首先第一个问题，我们想到的就是曲线与方程的这部分内容了。

　　在学习圆锥曲线这部分内容之前，我们最早接触到的就是曲线与方程这部分内容。在这部分呢，我们要注意到的是几种常见求轨迹方程的方法。在这里呢，简单的说一下，一共有四种方法：1.直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法.

　　2、定义法

　　利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件.

　　3、相关点法

　　若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程.这种方法称为相关点法(或代换法).

　　4、待定系数法

　　求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求

　　(二)椭圆，双曲线，抛物线

　　这部分就可以研究第二个问题了呢。在椭圆，双曲线以及抛物线里，最最重要的就是他们的标准方程，因为我们可以从它们的标准方程中看到许多东西，包括顶点，焦点，图形的画法等等等等，所以这个呢是要求我们必须要会的。(不会的通宵快去恶补~~~)

　　在一般做题的时候，我们要首先要根据题意来画图，这点特别重要，我们要清楚题目要我们求什么才能继续做下去不是。接下来就是根据题意来写过程了，我们的一般步骤呢都是建系，设点，联立方程，化简，判断△，韦达定理，列关系式，整理，作答。在考试中，我们按照步骤一步一步的写，写到韦达定理至少8分有了。当然了，各圆锥曲线的几何性质也尤其重要，包括离心率，顶点，对称性，范围，以及焦点弦，准线，渐近线等等。这些性质大家也要熟练掌握并且会应用。在这部分呢，还有很多很多的专题，譬如弦长问题，那大家还记得弦长公式吗?中点弦问题，我们通常会用到点差法，那么何为点差法呢?就是把两点坐标代入曲线方程作差后得到直线的斜率和弦中点坐标之间的关系式，这种方法。还有一类问题就是直线与圆锥曲线的位置关系。分为三大类：有直线与椭圆的位置关系，就是看△;直线与双曲线的位置关系，先看联立之后的方程中的a，如果a=0方程有一解，直线与双曲线有一个公共点(直线与渐近线平行)，a≠0的时候，还是看△啦;而直线与抛物线与直线与双曲线的位置关系是类似的，当a=0直线与抛物线有一个公共点(直线与抛物线的轴平行或重合)，a≠0的时候，还是看△。

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