画不同面积的正方形并发现规律

教学目标：1.通过画不同面积的正方形，灵活掌握求组合图形面积的计算方法，并从中发现规律，提高认识能力。2.在学习过程中，打破原有的思维定势，提升思维的灵活性。3.感受数学学习的魅力，提高学习数学、探究数学的兴趣。

教学难点：画出非平方数的正方形，并发现规律。

教学重点：画出各种形状的正方形，并求出面积。

教学过程：

一、谈话导入：

事先写好板书：画正方形

问：看了这个板书，你们有什么想法？

预设：学生会觉得特别的简单，早就会。关于正方形你已经知道了哪些？介绍正方形的特征。（4个直角、4条边都相等）

介绍在方格纸上画正方形的要求：4个顶点都要画在相交的交点处。

二、亮题：

老师请你们画5个正方形，面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米、4平方厘米、5平方厘米。看清楚题目要求了吗？

1. 哪个你已经在脑子里画出来了？怎么画得？（1平方厘米和4平方厘米）

简单交流：边长是1厘米、边长是2厘米。板书：12=1平方厘米

22=4平方厘米

交流：像这样画下去，还能画哪些面积的正方形？

指出：正好是某一个数的平方数，画这样的正方形难不倒。板书：平方数

2.现在还剩下3个正方形，大家要动脑了。请自己先尝试，画出来之后，可以把自己的想法与同桌交流。

3.全班交流：

（1）面积是2平方厘米。





交流算法：a.看成4个三角形，其中2个合起来是就是一个边长是1厘米的正方形，算式12＋12=2

b.看成一个边长2厘米的正方形，再除以2.算式22÷2=2

c.看成两个大的三角形。

d.看成4个小三角形。

测量：这个面积是2的正方形，边长有多长呢？

学生量一量，发现如果看成是1.4厘米的话，1.4×1.4=1.96；如果看成1.5厘米的话，1.5×1.5=2.25，感受：这个长度介于1.4和1.5之间，并不能太精确的表示。指出：这个长度的精确值，要到中学里才会知道。

像这样的画法，还可以画出很多，演示，让学生分别算一算面积。

【设计意图】面积是2的正方形，教学目标如下：1.突破思维定势，认识“斜”的正方形。2.用不同的方法算出“2”，体会算法的灵活性与多样性，灵活掌握求平面图形面积的方法。3.在测量边长的环节，初步体会无理数，丰富对数的认识；同时也确认，原来的面积计算方法同样适用。4.在练习中，熟练掌握这类图形的面积算法，并为后面的学习做准备。

（2）面积是5平方厘米。





交流算法：a.从面积是9的正方形中，去掉4个面积是1的三角形，剩下的面积就是5平方厘米。

b.这种画法，第一条边很重要， 这条边是在1×2的长方形内，有了第一条边，后面的3天边就容易画了。

猜想：面积5和长2、宽1有什么关系呢？

板书：2 ＋ 1 = 5

预设：22＋ 12 = 5

验证12＋22：通过课件演示，发现可以转化成右图，理解12＋22。

猜想：是不是第一笔在任意一个长方形内的对角线都能画出一个正方形？画出的正方形面积与第一笔所在的长方形的长与宽有怎样的关系？

独立尝试，并与同桌交流分享。

全班交流（实物展台）

【设计意图】这类图形很难画，所以要清清楚楚讲明白第一条边所在的位置，它既是画的需要，又是发现计算规律的需要。给学生一些时间，能产生更丰富的资源，并不断确认之前的猜想，强化后产生结论性的认识。

（3）回头看：（此时的板书应该如下：

12＋12=2 12＋22=5

22＋22=8 12＋32=10

32＋32=18 22＋32=13

…… ……

观察两组算式，它们有什么不同？为什么？

【设计意图】数学的方法越单一，越是有利于学生的掌握，所以有必要把两类计算方法统整，优化学生的认识结构。

（4）面积是3平方厘米。
交流算法：边长3厘米的正方形面积是9平方厘米，外面一周有4个完全相同的三角形，面积是3×1÷2×4=6平方厘米，9－6=3平方厘米。

评价：这是一种以退为进的算法。当无法直接从正方形的边长计算的时候，就可以根据特点，把正方形面积减去三角形面积。

【设计意图】这种三角形学生根本想不到，所以应直接呈现，把教学目标定位于“计算”，使学生明白这种面积也是确实存在的。

三、交流学习体会：

通过学习，你对画正方形有什么体会？

继续画一些不同面积的正方形，可能你还能有更多的发现哦。

设计理念：

1.课例的由来。6、7年前，我和儿子闲聊，说是来画画正方形吧。当时想的就是面积是2、3、4、5、……这些面积都能画吗？在画的时候，发现需要从不同的角度去构思，才能完成这个看上去很简单实际很挑战的想法。后来把整个过程成文，发表在一份省报上。3年前，我校自编校本教材，我又想到了这个课例，把它编进去，试用下来，学生很感兴趣。10多天前，参加了南京的现代与经典活动，北京的刘德武大师就是上了这个内容，豁然开朗，原来这样的数学课也可以搬到正儿八经的课堂上，而且，学生爱学。

2.课例想表达的思想。

（1）打破思维定势。这个内容的思维定势，首先是画的方面。学生习惯的是横平竖直的正方形，而我们呈现的却是倾斜的正方形。其次是算的方法，学生习惯的是用边长去算，而我们呈现的是以退为进的算法。以此来开阔学生的思路，提高思维的灵活性。

（2）找规律。倾斜的正方形，可以把之当成一个组合图形，通过正方形的面积减去三角形的面积来算；也可以发现规律，只看第一条边所在长方形的大小来想，并进而发现规律。用成人视角来看，这个规律其实就是勾股定理的运用，但因为面对的是小学生，我们不必去告诉他这是勾股定理，但却能运用规律，更方便的找到其它的一些面积，提高的是学生的发现问题、解决问题的能力。

（3）探究永无止境。最初的话题，看似很简单，但随着研究的深入，会觉得很有挑战，学生很容易在课后会继续研究，并有新的发现。这样的一种学习状态，我们要精心呵护、培养。在这个过程中，学生的习得是一种创造，一种源于自身的探究愿望的创造。作为数学教师，我们应努力寻找这样的好话题，培养学生的自主学习的能力。