《二次函数》教案

《二次函数》教案

　　作为一名老师，通常会被要求编写教案，借助教案可以有效提升自己的教学能力。教案应该怎么写呢？下面是小编为大家收集的《二次函数》教案，欢迎大家分享。

《二次函数》教案1

　　在整个中学数学知识体系中，二次函数占据极其关键且重要的地位，二次函数不仅是中高考数学的重要考点，也是线性数学知识的基础。那老师应该怎么教呢?今天，小编给大家带来初三数学二次函数教案教学方法。

　　一、 重视每一堂复习课 数学复习课不比新课，讲的都是已经学过的东西，我想许多老师都和我有相同的体会，那就是复习课比新课难上。

　　二、 重视每一个学生 学生是课堂的主体，离开学生谈课堂效率肯定是行不通的。而我校的学生数学基础大多不太好，上课的积极性普遍不高，对学习的热情也不是很高，这些都是十分现实的事情，既然现状无法更改，那么我们只能去适应它，这就对我们老师提出了更高的要求

　　三、做好课外与学生的沟通，学生对你教学理念认同和教学常规配合与否，功夫往往在课外，只有在课外与学生多进行交流和沟通，和学生建立起比较深厚的师生情谊，那么最顽皮的学生也能在他喜欢的老师的`课堂上听进一点

　　四、要多了解学生。你对学生的了解更有助于你的教学，特别是在初三总复习间断，及时了解每个学生的复习情况有助于你更好的制定复习计划和备下一堂课，也有利于你更好的改进教学方法。

　　2二次函数教学方法一

　　一、 立足教材，夯实双基：进行中考数学复习的时候，要立足于教材，重新梳理教材中的典例和习题，就显得尤为重要.并且要让学生在掌握的基础上，能够做到知识的延伸和迁移，让解题方法、技巧在学生遇到相似问题时，能在头脑中再现

　　二、 立足课堂，提高效率：做到教师入题海，学生出题海.教师应多做题、多研究近几年的中考试题，并根据本班学生的实际情况，从众多复习资料中，选择适合本班学生的最佳练习，也可通过对题目的重组。

　　三、教师在设计教学目标时，要做到胸中有书，目中有人，让每一节课都给学生留有时间，让他们有独立思考、合作探究交流的过程，最大限度的调动学生的参与度，激发他们的学习兴趣，达到最佳的复习效果.

　　四、激发兴趣，提高质量：兴趣是学习最好的动力，在上复习课时尤为重要.因此，我们在授课的过程中，在关注知识复习的同时，也要关注学生的学习欲望和学习效果，要让学生在学习的过程中体验成功的快感.这样他们才会更有兴趣的学习下去.

　　3二次函数教学方法二

　　1.质疑问难是学生自主学习的重要表现，优化课堂结构，激活学生的主体意识，必须鼓励学生质疑问难。教师要创造和谐融合的课堂气氛，允许学生随时“插嘴”、提问、争辩，甚至提出与教师不同的看法。

　　2.二次函数是初中阶段继一次函数、反比例函数之后，学生要学习的最后一类重要的代数函数，它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。

　　3.学生有疑而问、质疑问难，是用心思考、自主学习、主动探究的可贵表现，理应得到老师的热情鼓励和赞扬。现在对学生的随时“插嘴”，提出的各种疑难问题，应抱欢迎、鼓励的态度给与肯定，并做出正确的解释。

　　4.初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和性质，用二次函数的观点审视一元二次方程，用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。

　　4二次函数教学方法三

　　1.教学案例、教学设计、教学实录、教学叙事的区别：教学案例与教案：教案(教学设计)是事先设想的教育教学思路，是对准备实施的教育措施的简要说明，反映的是教学预期;而教学案例则是对已发生的教育教学过程的描述，反映的是教学结果。

　　2.教学案例与教学实录：它们同样是对教育教学情境的描述，但教学实录是有闻必录(事实判断)，而教学案例是根据目的和功能选择内容，并且必须有作者的反思(价值判断)。

　　3.教学案例与叙事研究的联系与区别：从“情景故事”的意义上讲，教育叙事研究报告也是一种“教育案例”，但“教学案例”特指有典型意义的、包含疑难问题的、多角度描述的经过研究并加上作者反思(或自我点评)的教学叙事;

　　4.教学案例必须从教学任务分析的目标出发，有意识地选择有关信息，必须事先进行实地作业，因此日常教育叙事日志可以作为写作教学案例的素材积累。

《二次函数》教案2

　　二次函数的教学设计

　　教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页

　　教学目标：

　　1。 1。 理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

　　2。 2。 通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

　　3。 3。 通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

　　教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。

　　教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。

　　教学过程设计：

　　一 创设情景、建模引入

　　我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

　　1。写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

　　答：S=πR2。 ①

　　2。写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

　　答：S=L（30-L）=30L-L2 ②

　　分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

　　S是否是R、L的一次函数？

　　由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

　　答：二次函数。

　　这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

　　二 归纳抽象、形成概念

　　一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) ，

　　那么，y叫做x的二次函数。

　　注意：(1)必须a≠0，否则就不是二次函数了。而b，c两数可以是零。(2) 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数。

　　练习：1。举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

　　2。出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

　　（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；； 的形式。）

　　（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）

　　由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。

　　（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

　　三 尝试模仿、巩固提高

　　让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究

　　1。 1。 尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

　　请同学们画出函数y=x2的图象。

　　（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

　　2。 2。 模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。

　　解：一、列表：

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
Y=x2	9	4	1	0	1	4	9

　　二、描点、连线： 按照表格，描出各点。然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来。

　　对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。

　　练习：画出函数;的.图象（请两个同学板演）

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
Y=0。5X2	4。5	2	0。5	0	0。5	02	4。5
Y=-X2	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9

　　画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数 y=ax2的图象是一条抛物线。

　　（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）

　　三 运用新知、变式探究

　　画出函数 y=5x2图象

　　学生在画图象的过程当中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。

x	-0。5	-0。4	-0。3	-0。2	-0。1	0	0。1	0。2	0。3	0。4	0。5
Y=5x2	1。25	0。8	0。45	0。2	0。05	0	0。05	0。2	0。45	0。8	1。25

　　教师出示已画好的图象让学生观察

　　注意：1。 画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。

　　2。 自变量X的取值应注意关于Y轴对称。

　　3。 对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。

　　四。 四。 归纳小结、延续探究

　　教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：

　　一般的，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是Y轴，顶点是坐标原点；当a＞0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a＜0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)。

　　五 回顾反思、总结收获

　　在这一环节中，教师请同学们回顾一节课的学习畅谈自己的收获或多、或少、或几点、或全面，总之是人人有所得，个个有提高。这也正是新课标中所倡导的新的理念——不同的人在数学上得到不同的发展。

　　（在整个一节课上，基本上是学生讲为主，教师讲为辅。一些较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，积极尝试，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题。这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，这就给教师提出了更高的要求，一方面要控制好整节课的节奏，另一方面又要察言观色，适时地对某些观点作出判断，或与学生一同讨论。）

《二次函数》教案3

　　【知识与技能】

　　1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.

　　2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.

　　3.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.

　　【过程与方法】

　　1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的.图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.

　　2.在学习y=ax2+bx+c(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想.

　　【情感态度】

　　进一步体会由特殊到一般的化归思想,形成积极参与数学活动的意识.

　　【教学重点】

　　①用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c的图象并能说出图象的性质.

　　【教学难点】

　　能利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.

　　一、情境导入，初步认识

　　请同学们完成下列问题.

　　1.把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式.

　　2.写出二次函数y=-2x2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标.

　　3.画y=-2x2+6x-1的图象.

　　4.抛物线y=-2x2如何平移得到y=-2x2+6x-1的图象.

　　5.二次函数y=-2x2+6x-1的y随x的增减性如何？

　　【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的转化过程.

　　二、思考探究，获取新知

　　探究1 如何画y=ax2+bx+c图象，你可以归纳为哪几步？

　　学生回答、教师点评：

　　一般分为三步：

　　1.先用配方法求出y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标.

　　2.列表,描点,连线画出对称轴右边的部分图象.

　　3.利用对称点,画出对称轴左边的部分图象.

　　探究2 二次函数y=ax2+bx+c图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？

《二次函数》教案4

　　2.4二次函数＝ax2+bx+c的图象

　　本节课在二次函数＝ax2和＝ax2+c的图象的基础上，进一步研究＝a(x-h)2和＝a(x-h)2+的图象，并探索它们之间的关系和各自的性质．旨在全面掌握所有二次函数的图象和性质的变化情况．同时对二次函数的研究，经历了从简单到复杂，从特殊到一般的过程：先是从＝x2开始，然后是＝ax2，＝ax2+c，最后是＝a(x-h)2，＝a(x-h)2+，＝ax2+bx+c．符合学生的认知特点，体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性．

　　在教学中，主要是让学生自己动手画图象，通过自己的观察、交流、对比、概括和反思[

　　等探索活动，使学生达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．并能利用它的性质解决问题．

　　2.4二次函数＝ax2+bx+c的图象（一）

　　教学目标

　　(一)教学知识点[

　　1．能够作出函数=a(x-h)2和＝a(x-h)2+的图象，并能理解它与＝ax2的图象的关系．理解a，h，对二次函数图象的影响．

　　2．能够正确说出=a(x-h)2+图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

　　(二)能力训练要求

　　1．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．

　　2．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力．

　　(三)情感与价值观要求

　　1．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

　　2．让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

　　教学重点[:Wz5u.c]

　　1．经历探索二次函数＝ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程．

　　2．能够作出=a(x-h)2和=a(x-h)2+的图象，并能理解它与＝ax2的图象的关系，理解a、h、对二次函数图象的影响．

　　3．能够正确说出＝a(x-h)2+图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

　　教学难点

　　能够作出＝a(x-h)2和＝a(x-h)2+的图象，并能够理解它与＝ax2的图象的关系，理解a、h、对二次函数图象的影响．

　　教学方法

　　探索——比较——总结法．

　　教具准备

　　投影片四张

　　第一张：(记作2．4．1 A)

　　第二张：(记作2．4．1 B)

　　第三张：(记作2．4．1 C)

　　第四张：(记作2．4．1 D)

　　教学过程

　　Ⅰ．创设问题情境、引入新课

　　[师]我们已学习过两种类型的二次函数，即=ax2与=ax2+c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是轴，有最大值或最小值．顶点都是原点．还知道＝ax2+c的图象是函数=ax2的图象经过上下移动得到的，那么=ax2的图象能否左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．

　　Ⅱ．新课讲解

　　一、比较函数＝3x2与＝3(X-1)2的图象的性质．

　　投影片：(2．4 A)

　　(1)完成下表，并比较3x2和3(x-1)2的值，

　　它们之间有什么关系?

　　X-3-2-101234

　　3x2

　　3(x-1)2

　　(2)在下图中作出二次函数＝3(x-1)2的图象．你是怎样作的?

　　(3)函数＝3(x-1)2的图象与=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

　　(4)x取哪些值时，函数＝3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时，函数＝3(x-1)2的值随x值的增大而减小?

　　[师]请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结．

　　[生](1)第二行从左到右依次填：27．12，3，0，3， 12，27，48；第三行从左到右依次填48，27，12，3，0，3， 12，27．

　　(2)用描点法作出＝3(x-1)2的图象，如上图．

　　(3)二次函数)＝3(x-1)2的图象与=3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，＝3(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，0)．

　　(4)当x>1时，函数＝3(x-1)2的'值随x值的增大而增大，x<1时，＝3(x-1)2的值随x值的增大而减小．

　　[师]能否用移动的观点说明函数=3x2与=3(x-1)2的图象之间的关系呢?

　　[生]=3(x-1)2的图象可以看成是函数)＝3x2的图象整体向右平移得到的.

　　[师]能像上节课那样比较它们图象的性质吗?

　　[生]相同点：

　　a.图象都中抛物线，且形状相同，开口方向相同．

　　b. 都是轴对称图形．

　　c．都有最小值，最小值都为0．

　　d．在对称轴左侧，都随x的增大而减小．在对称轴右侧，都随x的增大而增大．

　　不同点：

　　a．对称轴不同,＝3x2的对称轴是轴＝3(x-1)2的对称轴是x＝1．

　　b. 它们的位置不问．[:Wz5u.c]

　　c. 它们的顶点坐标不同． ＝3x2的顶点坐标为(0，0),＝3(x-1)2的顶点坐标为(1，0)，

　　联系：

　　把函数=3x2的图象向右移动一个单位，则得到函数＝3(x-1)2的图像．

　　二、做一做

　　投影片：(2．4．1 B)

　　在同一直角坐标系中作出函数＝3(x-1)2和＝3(x-1)2+2的图象．并比较它们图象的性质．

　　[生]图象如下

　　它们的图象的性质比较如下：

　　相同点：

　　a．图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同．

　　b. 都足轴对称图形，对称轴都为x＝1．

　　c. 在对称轴左侧，都随x的增大而减小，在对称轴右侧，都随x的增大而增大．

　　不同点：

　　a．它们的顶点不同，最值也不同.＝3(x-1)2的顶点坐标为(1．0)，最小值为0．＝3(x-1)2+2的顶点坐标为(1，2)，最小值为2．

　　b. 它们的位置不同．

　　联系：

　　把函数=3(x-1)2的图象向上平移2个单位，就得到了函数＝3(x-1)2+2的图象．

　　三、总结函数=3x2，=3(x-1)2，＝3(x-1)2+2的图象之间的关系．

　　[师]通过上画的讨论，大家能够总结出这三种函数图象之间的关系吗?

　　[生]可以．

　　二次函数＝3x2，=3(x-1)2，=3(x-1)2+2的图象都是抛物线．并且形状相同，开口方向相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数＝3x2的图象向右平移1个单位，就得到函数=3(x-1)2的图象；再向上平移2个单位，就得到函数=3(x-1)2+2的图象．

　　[师]大家还记得＝3x2与＝3x2-1的图象之间的关系吗?

　　[生]记得，把函数=3x2向下平移1个平位，就得到函数＝3x2-1的图象．

　　[师]你能系统总结一下吗?

　　[生]将函数＝3x2的图象向下移动1个单位，就得到了函数=3x2-1的图象，向上移动1个单位，就得到函数＝3x2+1的图象；将＝3x2的图象向右平移动1个单位，就得到函数＝3(x-1)2的图象：向左移动1个单位，就得到函数=3(x+1)2的图象；由函数＝3x2向右平移1个单位、再向上平移2个单位，就得到函数＝3(x-1)2+2的图象．

　　[师]下面我们就一般形式来进行总结．

　　投影片：(2．4．1 C)

　　一般地，平移二次函数=ax2的图象便可得到二次函数为=ax2+c，＝a(x-h)2，=a(x-h)2+的图象．

　　(1)将＝ax2的图象上下移动便可得到函数=ax2+c的图象，当c>0时，向上移动，当c<0时，向下移动．

　　(2)将函数＝ax2的图象左右移动便可得到函数=a(x-h)2的图象，当h>0时，向右移动，当h<0时，向左移动．

　　(3)将函数＝ax2的图象既上下移，又左右移，便可得到函数＝a(x-h)+的图象．

　　因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与a，h，的值有关．

　　下面大家经过讨论之后，填写下表：

　　=a(x-h)2+开口方向对称轴顶点坐标

　　a＞0

　　a＜0

　　四、议一议

　　投影片：(2，4．1 D)

　　(1)二次函数=3(x+1)2的图象与二次函数＝3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

　　(2)二次函数=-3(x-2)2+4的图象与二次函数=-3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

　　(3)对于二次函数＝3(x+1)2，当x取哪些值时，的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，的值随x值的增大而减小?二次函数＝3(x+1)2+4呢?

　　[师]在不画图象的情况下，你能回答上面的问题吗?

　　[生](1)二次函数＝3(x+1)2的图象与＝3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，=3(x+1)2的图象的对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1，0)．只要将＝3x2的图象向左平移1个单位，就可以得到=3(x+1)2的图象．

　　(2)二次函数＝-3(x-2)2+4的图象与＝-3x2的图象形状相同，只是位置不同，将函数＝-3x2的图象向右平移2个单位，就得到=-3(x-2)2的图象，再向上平移4个单位，就得到=-3(x-2)2+4的图象=-3(x-2)2+4的图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，4)．

　　(3)对于二次函数=3(x+1)2和＝3(x+1)2+4，它们的对称轴都是x＝-1，当x<-1时，的值随x值的增大而减小；当x>-1时，的值随x值的增大而增大．

　　Ⅲ．课堂练习

　　随堂练习

　　Ⅳ．课时小结

　　本节课进一步探究了函数=3x2与＝3(x-1)2，＝3(x-1)2+2的图象有什么关系，对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题．并作了归纳总结．还能利用这个结果对其他的函数图象进行讨论．

　　Ⅴ．课后作业

　　习题2．4

　　Ⅵ．活动与探究

　　二次函数= (x+2)2-1与= (x-1)2+2的图象是由函数＝ x2的图象怎样移动得到的?它们之间是通过怎样移动得到的?

　　解：＝ (x+2)2-1的图象是由= x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的，＝ (x-1)2+2的图象是由= x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的．

　　＝ (x+2)2-1的图象向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到= (x-1)2+2的图象．

　　＝ (x-1)2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到＝ (x+2)2-1的图象．

　　板书设计

　　4．2．1 二次函数＝ax2+bx+c的图象(一) 一、1. 比较函数＝3x2与＝3(x-1)2的

　　图象和性质(投影片2．4．1 A)

　　2．做一做(投影片2．4．1 B)

　　3．总结函数＝3x2，=3(x-1)2= 3(x-1)2+2的图象之间的关系(投影片2．4．1 C)

　　4．议一议(投影片2．4．1 D)

　　二、课堂练习

　　1．随堂练习

　　2．补充练习

　　三、课时小结

　　四、课后作业

　　备课资料

　　参考练习

　　在同一直角坐标系内作出函数=- x2,=- x2-1,=- (x+1)2-1的图象，并讨论它们的性质与位置关系．

　　解：图象略

　　它们都是抛物线，且开口方向都向下；对称轴分别为轴轴，直线x=-1；顶点坐标分别为(0，0)，(0，-1)，(-1，-1)．

　　=- x2的图象向下移动1个单位得到=- x2-1 的图象；=- x2的图象向左移动1个单位，向下移动1个单位，得到＝- (x+1)2-1的图象．

《二次函数》教案5

　　教学目标：

　　利用数形结合的数学思想分析问题解决问题。

　　利用已有二次函数的知识经验，自主进行探究和合作学习，解决情境中的数学问题，初步形成数学建模能力，解决一些简单的实际问题。

　　在探索中体验数学来源于生活并运用于生活，感悟二次函数中数形结合的美，激发学生学习数学的兴趣，通过合作学习获得成功，树立自信心。

　　教学重点和难点：

　　运用数形结合的思想方法进行解二次函数，这是重点也是难点。

　　教学过程：

　　（一）引入：

　　分组复习旧知。

　　探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中，你能得到哪些信息？

　　可引导学生从几个方面进行讨论：

　　（1）如何画图

　　（2）顶点、图象与坐标轴的交点

　　（3）所形成的三角形以及四边形的面积

　　（4）对称轴

　　从上面的问题导入今天的课题二次函数中的图象与性质。

　　（二）新授：

　　1、再探索：二次函数y=x2+4x+3图象上找一点，使形成的图形面积与已知图形面积有数量关系。例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点A，且与x轴交于点B、C；在抛物线上求一点E使SBCE= SABC。

　　再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点F，使BCE与BCD全等。

　　再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点M，使BOM与ABC相似。

　　2、让同学讨论：从已知条件如何求二次函数的解析式。

　　例如：已知一抛物线的顶点坐标是C（2，1）且与x轴交于点A、点B，已知SABC=3，求抛物线的解析式。

　　（三）提高练习

　　根据我们学校人人皆知的船模特色项目设计了这样一个情境：

　　让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况，再出题：船身的龙骨是近似抛物线型，船身的最大长度为48cm，且高度为12cm。求此船龙骨的抛物线的解析式。

　　让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的`作用。

　　（四）让学生讨论小结（略）

　　（五）作业布置

　　1、在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+（k—5）x—（k+4）的图象交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0）且（x1+1）（x2+1）=—8。

　　（1）求二次函数的解析式；

　　（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求 POC的面积。

　　2、如图，一个二次函数的图象与直线y= x—1的交点A、B分别在x、y轴上，点C在二次函数图象上，且CBAB，CB=AB，求这个二次函数的解析式。

　　3、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1：11000的比例图上，跨度AB=5cm，拱高OC=0。9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图1，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图2。

　　（1）求出图2上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

　　（2）如果DE与AB的距离OM=0。45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ，计算结果精确到1米）

《二次函数》教案6

　　【知识与技能】

　　1.会用描点法画二次函数=ax2+bx+c的图象.

　　2.会用配方法求抛物线=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、随x的增减性.

　　3.能通过配方求出二次函数=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.

　　【过程与方法】

　　1.经历探索二次函数=ax2+bx+c(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数=ax2+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.

　　2.在学习=ax2+bx+c(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想.

　　【情感态度】

　　进一步体会由特殊到一般的化归思想,形成积极参与数学活动的意识.

　　【教学重点】

　　①用配方法求=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画=ax2+bx+c的图象并能说出图象的性质.

　　【教学难点】

　　能利用二次函数=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数=ax2+bx+c(a≠0)的图象.

　　一、情境导入，初步认识

　　请同学们完成下列问题.

　　1.把二次函数=-2x2+6x-1化成=a(x-h)2+的形式.

　　2.写出二次函数=-2x2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标.

　　3.画=-2x2+6x-1的图象.

　　4.抛物线=-2x2如何平移得到=-2x2+6x-1的图象.

　　5.二次函数=-2x2+6x-1的.随x的增减性如何？

　　【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会=ax2+bx+c与=a(x-h)2+的转化过程.

　　二、思考探究，获取新知

　　探究1 如何画=ax2+bx+c图象，你可以归纳为哪几步？

　　学生回答、教师点评：

　　一般分为三步：

　　1.先用配方法求出=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标.

　　2.列表,描点,连线画出对称轴右边的部分图象.

　　3.利用对称点,画出对称轴左边的部分图象.

　　探究2 二次函数=ax2+bx+c图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？

《二次函数》教案7

　　课题 二次函数y=ax2的图象（一）

　　一、教学目的

　　1．使学生初步理解二次函数的概念。

　　2．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

　　3．使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。

　　二、教学重点、难点

　　重点：对二次函数概念的初步理解。

　　难点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

　　三、教学过程

　　复习提问

　　1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

　　（1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x-5；（4）y=x2 - 2。

　　2．什么是一无二次方程？

　　3．怎样用找点法画函数的图象？

　　新课

　　1．由具体问题引出二次函数的定义。

　　（1）已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。

　　（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。

　　（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？

　　解：（1）函数解析式是S=πR2；

　　（2）函数析式是S=30L—L2；

　　（3）函数解析式是y=50（1+x）2，即

　　y=50x2+100x+50。

　　由以上三例启发学生归纳出：

　　（1）函数解析式均为整式；

　　（2）处变量的最高次数是2。

　　我们说三个式子都表示的是二次函数。

　　一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。

　　2．画二次函数y=x2的图象。

　　按照描点法分三步画图：

　　（1）列表 ∵ x可取任意实数，∴ 以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；

　　（2）描点 按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；

　　（3）边线 用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x2的图象。

　　注意两点：

　　（1）由于我们只描出了7个点，但自矿业量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。而图象在x>3或x<-3的区间是无限延伸的。

　　（2）所画的图象是近似的。

　　3．在原点附近较精确地研究二次函数y=x2的图象形状到底如何？——我们 –1与1之间每隔0。2的间距取x值表和图13-14。按课本P118内容讲解。

　　4．引入抛物线的概念。

　　关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x2的图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x2看，当x=0时，y=x2取得最小值0，故抛物线y=x2的顶点是（0，0）。

　　小结

　　1．二次函数的定义。

　　（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）函数自变量的最高次数是2。

　　2．二次函数y=x2的图象。

　　（1）其图象叫抛物线；（2）抛物线y=x2的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点。

　　补充例题

　　下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？

　　（1）y=2-3x2； （2）y=x (x-4)；

　　（3）y=1/2x2-3x-1； （4）y=1/4x2+3x-8；

　　（5）y=7x（1-x）+4x2； （6）y=（x-6）（6+x）。

　　作业：P122中A组1，2，3。

　　四、教学注意问题

　　1．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。

　　2．注意培养学生观察分析问题的能力。比如，结合所画二次函数y=x2的图象，要求学生思考：

　　（1）y=x2的图象的图象有什么特点。（答：具有对称性。）

　　（2）如何判断y=x2的.图象有上面所说的特点？（答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x2看出来。）

　　课题 二次函数y=ax2的图象（一）

　　一、教学目的

　　1．使学生初步理解二次函数的概念。

　　2．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

　　3．使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。

　　二、教学重点、难点

　　重点：对二次函数概念的初步理解。

　　难点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

　　三、教学过程

　　复习提问

　　1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

　　（1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x-5；（4）y=x2 - 2。

　　2．什么是一无二次方程？

　　3．怎样用找点法画函数的图象？

　　新课

　　1．由具体问题引出二次函数的定义。

　　（1）已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。

　　（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。

　　（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？

　　解：（1）函数解析式是S=πR2；

　　（2）函数析式是S=30L—L2；

　　（3）函数解析式是y=50（1+x）2，即

　　y=50x2+100x+50。

　　由以上三例启发学生归纳出：

　　（1）函数解析式均为整式；

　　（2）处变量的最高次数是2。

　　我们说三个式子都表示的是二次函数。

　　一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。

　　2．画二次函数y=x2的图象。

　　按照描点法分三步画图：

　　（1）列表 ∵ x可取任意实数，∴ 以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；

　　（2）描点 按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；

　　（3）边线 用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x2的图象。

　　注意两点：

　　（1）由于我们只描出了7个点，但自矿业量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。而图象在x>3或x<-3的区间是无限延伸的。

　　（2）所画的图象是近似的。

　　3．在原点附近较精确地研究二次函数y=x2的图象形状到底如何？——我们 –1与1之间每隔0。2的间距取x值表和图13-14。按课本P118内容讲解。

　　4．引入抛物线的概念。

　　关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x2的图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x2看，当x=0时，y=x2取得最小值0，故抛物线y=x2的顶点是（0，0）。

　　小结

　　1．二次函数的定义。

　　（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）函数自变量的最高次数是2。

　　2．二次函数y=x2的图象。

　　（1）其图象叫抛物线；（2）抛物线y=x2的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点。

　　补充例题

　　下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？

　　（1）y=2-3x2； （2）y=x (x-4)；

　　（3）y=1/2x2-3x-1； （4）y=1/4x2+3x-8；

　　（5）y=7x（1-x）+4x2； （6）y=（x-6）（6+x）。

　　作业：P122中A组1，2，3。

　　四、教学注意问题

　　1．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。

　　2．注意培养学生观察分析问题的能力。比如，结合所画二次函数y=x2的图象，要求学生思考：

　　（1）y=x2的图象的图象有什么特点。（答：具有对称性。）

　　（2）如何判断y=x2的图象有上面所说的特点？（答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x2看出来。）

《二次函数》教案8

　　【知识与技能】

　　1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.

　　2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.

　　【过程与方法】

　　经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.

　　【情感态度】

　　体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识.

　　【教学重点】

　　二次函数的概念.

　　【教学难点】

　　在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.

　　一、情境导入，初步认识

　　1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S(2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x()的关系式是S=-2x2+100x,(0

　　2.对于实际问题中的`二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?有.

　　二、思考探究，获取新知

　　二次函数的概念及一般形式

　　在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如=ax2+bx+c(a,

　　b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

　　注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出.

《二次函数》教案9

　　教学目标：

　　会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。

　　重点难点：

　　重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。

　　难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。

　　教学过程：

　　一、例题精析，强化练习，剖析知识点

　　用待定系数法确定二次函数解析式．

　　例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。

　　（1）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，1），（1，3），（－1，1）三点。

　　（2）抛物线顶点P（－1，－8），且过点A（0，－6）。

　　（3）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（3，0），（2，－3）两点，并且以x＝1为对称轴。

　　（4）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－3/2x＋3的图象与x轴、y轴的交点；且过（1，1），求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a（x－h）2＋k的形式。

　　学生活动：学生小组讨论，题目中的四个小题应选择什么样的函数解析式？并让学生阐述解题方法。

　　教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式：（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

　　（2）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）（3）两根式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）

　　当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。

　　当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a（x－h）2＋k形式。

　　当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a（x－x1）（x－x2）

　　强化练习：已知二次函数的`图象过点A（1，0）和B（2，1），且与y轴交点纵坐标为m。

　　（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；

　　（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。

　　二、知识点串联，综合应用

　　例：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（－1，0），且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交

《二次函数》教案10

　　教学设计

　　一 教学设计思路

　　通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。

　　二 教学目标

　　1 知识与技能

　　(1).经历探索函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.

　　(2).会利用图象法求一元二次方程的近似解。

　　2 过程与方法

　　经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

　　三 情感态度价值观

　　通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况培养学生自主探索意识，从中体会事物普遍联系的观点，进一步体会数形结合思想.

　　四 教学重点和难点

　　重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

　　难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

　　五 教学方法

　　讨论探索法

　　六 教学过程设计

　　(一)问题的提出与解决

　　问题 如图，以20m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系

　　h=20t5t2。

　　考虑以下问题

　　(1)球的飞行高度能否达到15m?如能，需要多少飞行时间?

　　(2)球的飞行高度能否达到20m?如能，需要多少飞行时间?

　　(3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?

　　(4)球从飞出到落地要用多少时间?

　　分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数

　　h=20t-5t2。

　　所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。

　　解：(1)解方程 15=20t5t2。 t24t+3=0。 t1=1,t2=3。

　　当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。

　　(2)解方程 20=20t-5t2。 t2-4t+4=0。 t1=t2=2。

　　当球飞行2s时，它的`高度为20m。

　　(3)解方程 20.5=20t-5t2。 t2-4t+4.1=0。

　　因为(-4)2-44.10。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5m。

　　(4)解方程 0=20t-5t2。 t2-4t=0。 t1=0,t2=4。

　　当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s时球落回地面。

　　由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系?

　　例如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3。求自变量x的值。

　　分析 可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0) 。反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4+3的值为0，求自变量x的值。

　　一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0。

　　(二)问题的讨论

　　二次函数(1)y=x2+x-2;

　　(2) y=x2-6x+9;

　　(3) y=x2-x+0。

　　的图象如图26.2-2所示。

　　(1)以上二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，有多少个交点，公共点的横坐标是多少?

　　(2)当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗?

　　先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题。

　　可以看出：

　　(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1。

　　(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3。当x=3时，函数的值是0。由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3。

　　(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根。

　　总结：一般地，如果二次函数y= 的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程 =0的根。

　　(三)归纳

　　一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，

　　(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。

　　(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

　　由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。

　　(四)例题

　　例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1)。

　　解：作y=x2-2x-2的图象(如图)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7。

　　所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1-0.7,x22.7。

　　七 小结

　　二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

　　。

　　八 板书设计

　　用函数观点看一元二次方程

　　抛物线y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0的解之间的关系

　　例题

《二次函数》教案11

　　教学目标

　　(一)教学知识点

　　1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.

　　2.进一步发展估算能力.

　　(二)能力训练要求

　　1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验.

　　2.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的.思路，体验数形结合思想.

　　(三)情感与价值观要求

　　通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力.

　　教学重点

　　1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

　　2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.

　　教学难点

　　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.

　　教学方法

　　学生合作交流学习法.

　　教具准备

　　投影片三张

　　第一张：(记作§2.8.2A)

　　第二张：(记作§2.8.2B)

　　第三张：(记作§2.8.2C)

　　教学过程

　　Ⅰ.创设问题情境，引入新课

　　[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.

《二次函数》教案12

　　教学目标

　　1、经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点

　　2、能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题

　　3、能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究

　　教学重点和难点

　　重点：用三种方式表示变量之间二次函数关系

　　难点：根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究

　　教学过程设计

　　一、从学生原有的认知结构提出问题

　　这节课，我们来学习二次函数的.三种表达方式。

　　二、师生共同研究形成概念

　　1、用函数表达式表示

　　☆做一做书本P56矩形的周长与边长、面积的关系

　　鼓励学生间的互相交流，一定要让学生理解周长与边长、面积的关系。

　　比较全面、完整、简单地表示出变量之间的关系

　　2、用表格表示

　　☆做一做书本P56填表

　　由于运算量比较大，学生的运算能力又一般，因此，建议把这个表格的一部分数据先给出来，让学生完成未完成的部分空格。

　　表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系

　　3、用图象表示

　　☆议一议书本P56议一议

　　关于自变量的问题，学生往往比较难理解，讲解时，可适当多花时间讲解。

　　可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势

　　☆做一做书本P57

　　4、三种方法对比

　　☆议一议书本P58议一议

　　函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；函数的表达式可以比较全面、完整、简单地表示出变量之间的关系。这三种表示方式积压自有各自的优点，它们服务于不同的需要。

　　在对三种表示方式进行比较时，学生的看法可能多种多样。只要他们的想法有一定的道理，教师就应予以肯定和鼓励。

《二次函数》教案13

　　教学目标：

　　1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。

　　2、让学生经历二次函数y＝ax2＋b性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。

　　教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系。

　　教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系。

　　教学过程：

　　一、提出问题导入新课

　　1．二次函数y＝2x2的图象具有哪些性质？

　　2．猜想二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?

　　二、学习新知

　　1、问题1：画出函数y＝2x2和函数y＝2x2＋1的图象，并加以比较

　　问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?

　　同学试一试，教师点评。

　　问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值（既y）之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?

　　让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，顶点坐标，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。

　　师：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?

　　小组相互说说（一人记录，其余组员补充）

　　2、小组汇报：分组讨论这个函数的'性质并归纳：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝1。

　　3、做一做

　　在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?

　　三、小结 1、在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系? 2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质?

　　四、作业： 在同一直角坐标系中，画出 (1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；的图像

　　五：板书

《二次函数》教案14

　　一.学习目标

　　1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。

　　2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。

　　二.知识导学

　　（一）情景导学

　　1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是 。

　　2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大?

　　设长方形的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为 .

　　3．要给边长为x米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y为多少元？

　　在这个问题中，地板的费用与 有关，为 元,踢脚线的费用与 有关，为 元；其他费用固定不变为 元，所以总费用y（元）与x（m）之间的函数关系式是 。

　　（二）归纳提高。

　　上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？

　　一般地，我们称 表示的函数为二次函数。其中 是自变量， 函数。

　　一般地，二次函数 中自变量x的取值范围是 ，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？

　　（三）典例分析

　　例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c的值.

　　(1) y＝1— (2)y＝x(x－5) (3)y＝ － x＋1 (4) y＝3x(2－x)＋ 3x2

　　(5)y＝ (6) y＝ (7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c

　　例2．当k为何值时，函数 为二次函数？

　　例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

　　⑴正方体的表面积S（cm2）与棱长a（cm）之间的函数关系；

　　⑵圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

　　⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

　　⑷菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．

　　三.巩固拓展

　　1.已知函数 是二次函数，求m的值.

　　2. 已知二次函数 ，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．

　　3.一个长方形的长是宽的1.6倍，写出这个长方形的面积S与宽x之间函数关系式。

　　4.一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S与底面半径r之间的函数关系式

　　5.用一根长为40 cm的'铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

　　6. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m．

　　⑴求隧道截面的面积S（m2）关于上部半圆半径r（m）的函数关系式；

　　⑵求当上部半圆半径为2 m时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1 m2）

　　课堂练习:

　　1.判断下列函数是否是二次函数,若是,请指出它的二次项系数、一次项系数、常数项。

　　（1）y=2-3x2; (2)y=x2+2x3; (3)y= ; (4)y= .

　　2.写出多项式的对角线的条数d与边数n之间的函数关系式。

　　3.某产品年产量为30台，计划今后每年比上一年的产量增长x%，试写出两年后的产量y（台）与x的函数关系式。

　　4.圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积v(cm3)与底面周长C(cm)之间的函数关系式。

　　课外作业：

　　A级：

　　1.下列函数：（1）y=3x2+ +1;(2)y= x2+5;(3)y=(x-3)2-x2;(4)y=1+x- ,属于二次函数的

　　是 (填序号).

　　2.函数y=(a-b)x2+ax+b是二次函数的条件为 .

　　3.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )

　　A.圆的周长与圆的半径之间的关系; B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;

　　C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;

　　D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系.

　　4.某超市1月份的营业额为200万元,2、3月份营业额的月平均增长率为x，求第一季度营业额y（万元）与x的函数关系式.

　　B级：

　　5、一块直角三角尺的形状与尺寸如图，若圆孔的半径为 ，三角尺的厚度为16，求这块三角尺的体积V与n的函数关系式.

　　6.某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛20xx头。后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少1个时，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。如果养殖场减少x个，求该地区奶牛总数y（头）与x（个）之间的函数关系式。

　　C级：

　　7.圆的半径为2cm，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加到y(cm2).

　　(1)写出y与x之间的函数关系式；

　　（2）当圆的半径分别增加1cm、 时，圆的面积分别增加多少？

　　（3）当圆的面积为5πcm2时，其半径增加了多少?

　　8.已知y+2x2=kx(x-3)(k≠2).

　　(1)证明y是x的二次函数；

　　(2)当k=-2时，写出y与x的函数关系式。

《二次函数》教案15

　　目标设计

　　1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。

　　能力训练要求

　　1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力， 学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。

　　2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。

　　情感与价值观要求

　　1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。

　　2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。

　　方法设计

　　由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。

　　教学过程

　　导学提纲

　　设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富 ，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受 ，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

　　（一）前情回顾：

　　1.复习二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠0）的图象、顶点坐标、对称轴和最值

　　2.（1）求函数y＝x2+ 2x－3的最值。

　　（2）求函数y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）

　　3、抛物线在什么位置取最值？

　　（二）适当点拨，自主探究

　　1.在创设情境中发现问题

　　请你画一个周长为40厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？

　　2、在解决问题中找出方法

　　某工厂为了存放材料，需要围一个周长40米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大？

　　（问题设计思路：把前面矩形的周长40厘米改为40米，变成一个实际问题， 目的在于让学生体会其应用价值??我们要学有用的数学知识。学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理 论依据，这样首先要建立函数模型，合作探究中在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。）

　　3、在巩固与应用中提高技能

　　例1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 ，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？

　　（设计思路：例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。）

　　解：设垂直于墙的边AD=x米，则AB=（32-2x） 米，设矩形面积为y米2，得到：

　　Y=x（32-2x）= -2x2+32x

　　［错解］由顶点公式得：

　　x=8米时，y最大=128米2

　　而实际上定义域为11≤x ?16，由图象或增减性可知x=11米时， y最大=110米2

　　（设计思路：例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错 解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与 形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的`严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。）

　　（三）总结交流：

　　（1）同学们经历刚才的探究过程，想想解决此类问题的思路是什么？.

　　引导学生分析解题循环图：

　　（2）在探究发现这些判定方法的过程中运用了什么样的数学方法？

　　（四）掌握应用：

　　图中窗户边框的 上半部分是由四个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料总长为15米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大(结果精确到0.01m2)?（设计思路：先出示如图图形，然后引伸到课本中的图形，让学生有一个思考递进的空间。）

　　（五）我来试一试：

　　如图在Rt△ABC中，点P在斜边AB上移动，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分别为垂足，已知AC=1，AB=2，求：

　　（1）何时矩形PMCN的面积最大，把最大面积是多少？

　　（2）当AM平分∠CAB时，矩形PMCN的面积.

　　（六）智力闯关：

　　如图，用长20cm的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎样围才能使园子的面积最大？最 大面积是多少？

　　作业：课本随堂练习 、习题1，2，3

　　板书设计

　　二次函数的应用??面积最大问题

　　课后反思

　　二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。 本节课充分运用导学提纲，教师提前通过一系列问题串的设置，引导学生课前预习，在课堂上通过对一系列问题串的解决与交流， 让学生通过掌握 求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。

　　教材中设计先探索最大利润问题，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。所以在例题的处理中适当的降低了梯度，让学生思维有一个拓展的空间，也有收获快乐 和成就感。在训练的过程中，通过学生的独立思考与小组合作探究相结合，使学生的分析能力、表达能力及思维能力都得到训练和提高。同时也注重对解题方法与解题 模式的归纳与总结，并适当地渗透转化、化归、数形结合等数学思想方法。

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