勾股定理的证明方法及公式

时间:2023-02-03 17:51:16 证明 我要投稿
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勾股定理的证明方法及常用公式

  在学习、工作、生活中,说到证明,大家肯定都不陌生吧,证明一般由标题、称呼、正文、署名和日期等构成。那么证明怎么拟定才能发挥它最大的作用呢?以下是小编帮大家整理的勾股定理的证明方法及常用公式,希望能够帮助到大家。

勾股定理的证明方法及常用公式

勾股定理的证明方法及常用公式1

  1、过两点有且只有一条直线

  2、两点之间线段最短

  3、同角或等角的补角相等

  4、同角或等角的余角相等

  5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

  6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短

  7、平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行

  8、如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行

  9、同位角相等,两直线平行

  10、内错角相等,两直线平行

  11、同旁内角互补,两直线平行

  12、两直线平行,同位角相等

  13、两直线平行,内错角相等

  14、两直线平行,同旁内角互补

  15、定理三角形两边的和大于第三边

  16、推论三角形两边的.差小于第三边

  17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180"

  18、推论1直角三角形的两个锐角互余

  19、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

  20、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

勾股定理的证明方法及常用公式2

  在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。

  在这个定理的证明中,我们需要如下四个辅助定理:

  如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的`角相等,则两三角形全等。(SAS)

  三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

  任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

  任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积。

  证明的思路为:从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,把上方的两个正方形,通过等高同底的三角形,以其面积关系,转换成下方两个同等面积的长方形。

  设△ABC为一直角三角形,其直角为∠CAB。

  其边为BC、AB和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

  画出过点A之BD、CE的平行线,分别垂直BC和DE于K、L。

  分别连接CF、AD,形成△BCF、△BDA。

  ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共线,同理可证B、A和H共线。

  ∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。

  因为AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。

  因为A与K和L在同一直线上,所以四边形BDLK=2△ABD。

  因为C

  A和G在同一直线上,所以正方形BAGF=2△FBC。

  因此四边形BDLK=BAGF=AB。

  同理可证,四边形CKLE=ACIH=AC。

  把这两个结果相加,AB+AC=BD×BK+KL×KC

  由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

  由于CBDE是个正方形,因此AB+AC=BC,即a+b=c。

  此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

  由于这个定理的证明依赖于平行公理,而且从这个定理可以推出平行公理,很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件,一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

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